Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
22. Moto uniforme vario. - Al concetto fondamentale di accelerazione si perviene valutando, per così dire, la rapidità con cui da istante ad istante
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è un vettore, funzione del tempo, che ad ogni istante t è perpendicolare al piano, generalmente variabile, che passa pel centro O e per la velocità
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si conclude che il moto è ritardato per cioè prima dell’istante (in cui, annullandosi la velocità sì ha un arresto), e da quell’istante in poi è
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Se si contano i tempi a partire dall’istante di arresto
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Considerato l’incremento (vettoriale) che la velocità v(t) subisce da un istante generico t ad un qualsiasi istante successivo t + Δt, e immaginatolo
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In quanto è la derivata di il suo segno discrimina istante per istante se la velocità scalare è crescente o decrescente. Se poi si considera la
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26. Accelerazione tangenziale e normale. – L’accelerazione a(t) è un vettore, che ad ogni istante si considera, per definizione, applicato nella
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Risulta, di qui che ad ogni istante è nulla la componente della accelerazione secondo la binormale alla traiettoria o, in altre parole, l
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Se invece è cioè se la velocità iniziale è diretta (verticalmente) all’insù, il valore dato per t dalla (30) risulta > 0, cosicché nell’istante t = 0
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[valore assoluto di y nell’istante (30)]; poi ricade all’ingiù, lungo la verticale, movendosi indefinitamente di moto uniformemente accelerato
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In tal caso il punto, a partire dall’istante t = 0, si muove su di un arca ascendente di parabola, fino all’istante in cui tocca il vertice V e
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; e che quindi il piano (in generale univocamente determinato) passante per il centro e per la velocità, relativa ad un istante generico t, contiene
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6. In un istante generico l’angolo formato dai due vettori velocità ed accelerazione (supposti entrambi non nulli) è acuto od ottuso, secondoché il
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16. Due gravi si muovono in uno stesso piano verticale. Se, in un dato istante, le loro velocità sono simmetriche rispetto ad una verticale, lo
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sfera (di centro e raggio variabili da istante a istante).
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La posizione occupata in un qualsiasi istante t dal sistema S è univocamente determinata, quando si conoscano le posizioni occupate in quell’istante
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In altre parole, la differenza (geometrica) delle velocità di due punti è, ad ogni istante, ortogonale alla congiungente dei due punti; cosicché, in
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Così ogni moto traslatorio è caratterizzato da un certo vettore, funzione esclusivamente del tempo, che istante per istante dà la velocità comune, in
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tutti i punti del sistema hanno, in ciascun istante, velocità equipollenti.
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Risulta da quanto s’è detto che il vettore ω è interpretabile istante per istante come la velocità angolare del corrispondente moto elicoidale
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Lo scalare φ = ωd t fornisce istante per istante l’ampiezza della rotazione elementare componente.
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Infine l’annullarsi in un dato istante del trinomio invariante
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vettori caratteristici, mentre il terzo dipende, istante per istante, esclusivamente dal moto elicoidale tangente, e perciò coincide con l’accelerazione
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Si suppone che, nell’istante considerato, non si annulli
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fornisce istante per istante la velocità, da cui, nel moto di trascinamento, risulta animato, rispetto alla terna fissa, quel punto solidale colla
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rispettive velocità angolari ωr, ωτ sono parallele e di direzione invariabile, si conclude componendo istante per istante i corrispondenti atti di moto
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Ad ogni istante le due rigate Λ ed L hanno comune la generatrice che in quell’istante costituisce l’asse di moto; e noi qui ci proponiamo di
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Ma importa notare che in generale codesto rotolamento è accompagnato, istante per istante, da uno strisciamento elementare lungo la generatrice di
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60. Per mettere in luce qualche ulteriore proprietà della distribuzione delle accelerazioni in un istante generico t, in cui sia convien scegliere in
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Ma se il punto P è distinto dal polo istantaneo, cioè da la ΩP nell’istante t risulta normale alla sua traiettoria (n. 4), cosicché per avere in
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Riassumendo, abbiamo che in conseguenza delle ipotesi fatte sulla scelta del riferimento, si ha nell’istante t, per modo che, limitatamente a codesto
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posizione occupata nell’istante t + dt dal punto che nell’istante t è polo.
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8. Si consideri un moto rigido piano qualsiasi, e si fissi un istante generico t. Variando comunque la legge dei tempi prima o dopo l'istante
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Se poi codesta curva o superficie, luogo delle infinite posizioni possibili pel punto, varia da istante ad istante, avremo per P, in luogo della (1
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assunto in un generico istante t una certa configurazione (fra quelle relative a quell’istante) non può passare nel successivo tempuscolo dt se non ad
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Considerato, invero, il moto elementare generico della sfera, da un istante t all’istante t + dt, sappiamo che, ove si assuma come centro di
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Ma se i legami dipendono dal tempo, variano in generale da istante ad istante le configurazioni del sistema, cosicché uno spostamento virtuale, in
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Si consideri allora il lavoro L compiuto da F nell’intervallo di tempo da un istante fisso t 0 ad un istante variabile t, e si integri la (10) da t 0
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ove si indichi con Δ(m v) l’incremento che la grandezza vettoriale m v subisce dall’istante t 0 all’istante t 1.
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onde, integrando dall’istante t 0 ad un generico istante t del considerato intervallo di tempo, e designando con v 0 la velocità nell’istante t 0
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intervallo di tempo, dall’istante t 0 all’istante t 1, sia espressa da
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D’altra parte, calcolando l’impulso I della forza (13), dall’istante t 0 all’istante t 1, si trova, in base alla t 1 = t 0 = τ,
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Sommando i valori assoluti dei successivi cammini elementari (3), percorsi da P dall’istante t 0 ad un generico istante t, cioè calcolando l
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traiettoria l di P, in modo da occupare la stessa posizione di P sia nell’istante t che nell’istante t + Δt.
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12. Per la nota interpretazione geometrica della derivata, la velocità in un istante t risulta rappresentata, sul diagramma orario del moto, dal
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rispetto ad una terna Oxyx, consideriamo lo spostamento ΔP, che il punto subisce in un generico intervallo Δt di tempo da un istante t, all’ istante
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Di qui risulta giustificato il definire come velocità vettoriale del punto P nell’istante t codesto vettore cioè il derivato di P(t) rispetto al
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Indicando con i, j, k, i versori fondamentali della terna Oxyz, e con x(t), y(t), z(t) le coordinate di P nell’istante t rispetto a codesta terna
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Per un moto piano la velocità, in quanto è ad ogni istante tangente alla traiettoria, giace costantemente nel piano del moto: e così per un moto
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prefissata v. Se questa è data in funzione del tempo, cioè se si sa per dato quale debba essere istante per istante la velocità del punto, le v x, v y, v z
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Accademia della crusca
